Алгебра. 8 класс
Учитель: Кулешова Татьяна Николаевна
Тема: Преобразование выражений, содержащих квадратные корни
Тип урока: обобщение и систематизация знаний
Цель урока: формирование умений учащихся преобразовывать выражения, содержащих квадратные корни
Задачи:
Образовательные: знать свойства арифметического квадратного корня; научиться преобразовывать такие выражения, содержащие квадратные корни, как вынесение множителя из – под знака корня, внесение множителя в знак корня и освобождение от иррациональности в знаменателе дроби;
Развивающие: развивать познавательные и творческие способности, мышление, наблюдательность, сообразительность и навыки самостоятельной деятельности; привитие интереса к математике;
Воспитательные : умение работать в команде (группе), желания активно учиться с интересом; четкость и организованность в работе; дать каждому ученику достичь успеха;
Оборудование: Школьные принадлежности, доска, мел, учебник, раздаточный материал.
План урока
Ход работы
Мотивация урока
«Закройте глаза, сядьте поудобнее. Представьте что-то очень приятное вам. Вам хорошо, удобно. Вокруг вас много друзей. Среди них и натуральные числа, с которыми мы с вами хорошо знакомы. Ряды наших друзей пополняются и к ним присоединились дробные числа. А вот подошли и отрицательные числа. А теперь вы идете на встречу рациональным и иррациональным числам. Пройдёт время, и мы познакомимся с вами с новыми числами и, пока на свете существует математика, эти числа бесконечны».
« Знание – только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью ».Л. Н. Толстой.-Эти слова Л. Н. Толстого важны и актуальны при изучении математики, ведь математика одна из немногих наук, где надо постоянно размышлять. Ваша задача показать свои знания и умения в процессе устной работы, тестирования, работы у доски.
У каждого из вас на столе лежит оценочный лист, после каждого выполненного задания не забываем выставлять оценки, а в конце урока поставить итоговую оценку.
Решите анаграмму (Работа в группах)
ОБ – ЗО – РА – ПРЕ – НИЕ – ВА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
НИЙ – РА – ЖЕ – ВЫ ВЫРАЖЕНИЙ
ЩИХ – ДЕР – ЖА – СО СОДЕРЖАЩИХ
РАТ – КВ – НЫЕ – АД КВАДРАТНЫЕ
НИ – КО – Р КОРНИ
Решив анаграмму, учащиеся определяют тему урока
Как вы думаете, чем мы будем заниматься на уроке?
Давайте вместе сформулируем цель нашего урока.
А 1) Устный счёт:
Проверка теории: Соединить линией соответствующие части определения.
оценка -2 балла
2). Завершить утверждение.
а) Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. (оценка -2 балла)
б) Всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь называется иррациональным числом. (оценка -2 балла)
в) Корень из дроби, числитель которой является неотрицательным числом, а знаменатель положительным, равен корню из числителя, деленного на корень из знаменателя.( оценка -2 балла)
3) Установить соответствие (2 балла)
В. 3 учащихся получают по алгоритму преобразований выражений, содержащих квадратные корни. Задание: изобразить, начертить, написать, показать и т.д. и защитить (спикер).
3) Извлечь корень
Вынеси множитель из-под знака корня:
(2 балла )
3)
Упростите выражение (4 балла)
1) 6 =
а) , б) , в) - , г) .
2) 5 =
3) 3 =
а) , б) , в) - , г) .
Вариант-1 | Ответы: |
За каждое правильно выполненное задание 0,5 балла.
Оценивание
Оценочный лист. Ф.И учащегося _______________________Оценка _____
Этап урока | Баллы |
Устный счёт | |
Самостоятельная работа | |
Тест | |
Диктант | |
Работа по учебнику- работа на доске | |
Дополнительные задания | |
Итого баллов за урок | |
Моё настроение в конце урока- после оценки за урок |
Перевод баллов в оценку
25 баллов и более – оценка «5»
24 – 18 баллов – оценка «4»
17 – 9 баллов – оценка «3»
0 – 8 баллов – оценка «2»
Для оценивания всей работы за урок используется «Перевод баллов в оценку» - с обратной стороны оценочного листа.
Заполните до конца оценочный лист. Оценки за урок.
Закончить урок я хочу стихотворением великого математика Софьи Ковалевской.
Если в жизни ты хоть на мгновенье
Истину в сердце своем ощутил,
Если луч света сквозь мрак и сомненье
Ярким сияньем твой путь озарил:
Что бы в решенье твоем неизменном
Рок ни назначил тебе впереди,
Память об этом мгновенье священном
Вечно храни, как святыню в груди.
Тучи сберутся громадой нестройной,
Небо покроется черною мглой,
С ясной решимостью, с верой спокойной
Бурю ты встреть и померься с грозой.
В этом стихотворении выражено стремление к знаниям, умение преодолевать все преграды, которые встречаются на пути. А как мы сегодня с вами преодолевали преграды? Чем мы занимались на уроке?
- Сегодня мы повторили определение и свойства арифметического квадратного корня; вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под знак корня, формулы сокращённого умножения; ознакомились и закрепили некоторые способы преобразования выражений, содержащих квадратные корни.
Все работали плодотворно, активно и коллективно в течение урока.
Урок окончен. Всем спасибо за урок!
Внести множитель под знак корня:
1) 6 =
а) , б) , в) - , г) .
2) 5 =
3) 3 =
а) , б) , в) - , г) .
Тест Ф.И.____________________
Внести множитель под знак корня:
1) 6 =
а) , б) , в) - , г) .
2) 5 =
3) 3 =
а) , б) , в) - =
а) , б) , в) - , г) .
2) 5 =
3) 3 =
а) , б) , в) - =
а) , б) , в) - , г) .
2) 5 =
3) 3 =
а) , б) , в) - =
а) , б) , в) - , г) .
2) 5 =
3) 3 =
а) , б) , в) - , г) .
Алгоритм вынесения множителя из-под знака корня
1) Представим подкоренное выражение в виде произведения таких множителей, чтобы из одного можно было бы извлечь квадратный корень.
2) Применим теорему о корне из произведения.
3) Извлечь корень
Алгоритм внесения множителя под знак корня
1) Представим произведение в виде арифметического квадратного корня.
2) Преобразуем произведение квадратных корней в квадратный корень из произведения подкоренных выражений.
3) Выполним умножение под знаком корня.
Алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе дроби:
1) Разложить знаменатель дроби на множители.
ОТКРЫТЫЙ ДИСТАНЦИОННЫЙ УРОК
по теме: "Преобразование выражений, содержащих квадратные корни".
Учитель математики - Ветохина Антонина Сергеевна
Место работы : ОГКОУ «Школа-интернат № 88 «Улыбка» г. Ульяновск, Ульяновская
область
Предмет: алгебра
Класс: 8
Базовый учебник: « Алгебра 8 класс» : Учебник для общеобразовательных учреждений. Ю.Н. Макарычев, Н.Г.
Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова. - М.: Просвещение, 2011 г
ТДЦ:
Обучающая:
продолжить формирование навыков:
вынесения множителя за знак радикала;
внесения множителя под знак радикала;
разложения на множители;
сокращения дробей;
научить учащегося применять первоначальные знания: свойства корня.
Развивающая : продолжить развитие:
практических умений и навыков;
навыки правильной математической речи;
познавательной деятельности учащегося;
логического мышления учащегося при вычислении в заданиях.
Воспитывающая: продолжить формирование:
культуры общения и культуры ответа на вопросы;
культуры умственного труда;
формировать положительное отношение к предмету, интерес к знаниям.
Тип урока: комбинированный.
Методы обучения : наглядно-словесный, репродуктивный.
Формы организации познавательной деятельности на уроке : самостоятельная и индивидуальная работа.
Оборудование, оформление и техническое оснащение урока:
материалы сайта i-школы « Алгебра - II (8 класс) » ( http://iclass.home-edu.ru );
материалы сайта «ЯКласс» ( http://www.yaklass.ru );
компьютер, мультимедийный проектор.
ПЛАН УРОКА
1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний.
3. Физкультминутка для глаз .
4. Изучение нового материала.
5. Физкультминутка двигательная .
6. Закрепление полученных знаний. Практическая работа.
7. Рефлексия. Подведение итогов урока.
8. Домашнее задание.
СТРУКТУРА И ХОД УРОКА
До начала урока, учащийся осуществляет «Вход» на сайт i -школы под своим логином и переходит в курс « Алгебра - II (8 класс) » .
Потом открывает программу Skype для участия в уроке.
Этап учебного занятия | Задачи этапа | Деятельность учителя | Деятельность учащегося | Ожидаемый результат |
1. Организационный момент. 2 мин | Организовать внимание учащегося и готовность к уроку. Раскрыть общие цели урока и плана его проведения Провести релаксацию и дыхательные упражнения. | Учитель приветствует учащегося, спрашивает о настроении и готовности к уроку. Желает совместной плодотворной работы. Сообщает цели и план урока. Просит зайти в закладки: сайт «ЯКласс» предмет 8 класс, в тему III. Функция квадратного корня. Свойства квадратного корня и сделать вкладки занятий 4 и 5 в курсе Алгебра - II (8 класс) » перейти в тему 13 и сделать вкладку урока 26 Соберёмся с силами . В четыре приёма глубоко вдохнём воздух через нос и в пять приёмов с силой выдохнем, задувая воображаемую свечку. Повторим это 2 раза. | Учащийся приветствует учителя. Отвечает на вопросы. Под руководством учителя делает нужные вкладки. Выполняет дыхательные упражнения | Эмоциональный настрой учащегося на урок. Создание доброжелательной атмосферы и делового настроя. Учащийся готов к уроку. |
2. Актуализация опорных знаний 1) Проверка домашнего задания. 2 мин 2) Повторение пройденного материала. 6 мин. | Выявить правильность выполнения домашнего задания. Повторить: - свойства квадратных корней | Учитель предоставляет свой экран учащемуся. Открывает выполненную им домашнюю работу. Просит самостоятельно найти ошибки и исправить их, если они имеются. Выключив доступ своего экрана, просит учащегося предоставить доступ своего экран а и перейти на вкладку сайта «ЯКласс» и открыть в занятии 4: Тест «Тренировка по теме: «Свойства квадратных корней» Просит учащегося выключить доступ своего экрана и переходят к физкультминутке. | Принимает замечания или одобрение учителя по выполненному домашнему заданию. Учащийся предоставляет свой экран и, открыв Тест , выполняет его. Учащийся выключает доступ своего экрана. | Проверенное домашнее задание. Учащийся должен: Знать: свойства корней; Уметь: вносить множитель под знак корня, выносить множитель из-под знака корня. |
3. Физкультминутка для глаз 2 мин. | Профилактика утомления глаз. | Предлагает учащемуся комплекс упражнений для профилактики утомления глаз. | Снятие напряжения глаз. |
|
4. Изучение нового материала 1) Подготовка к изучению
2) Изучение 15 мин. | Организовать деятельность учащегося для получения знаний. Формировать умение самостоятельно изучить новую тему | Учитель просит учащегося предоставить доступ своего экран а и открыть вкладку в курсе « Алгебра - II (8 класс) » : урок 26. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни . Просит учащегося выключить доступ экрана и перейти к физкультминутке. | Предоставляет свой экран учителю. Открывает: урок 26 Читает рассмотренные решения примеров, комментируя какие формулы применяются при их решении. Учащийся выключает доступ экрана. | Учащийся готов к получению новых знаний. Учащийся должен иметь представление о преобразовании выражений, содержащих квадратные корни Применять формулы сокращенного умножения. |
5. Физкультминутка двигательная 2 мин. | Снять утомление с плечевого пояса и рук | Учитель предлагает учащемуся комплекс упражнений для снятия утомления с плечевого пояса и рук | Учащийся выполняет предложенные упражнения под руководством учителя. | Снятие утомления с плечевого пояса и рук |
6. Закрепление полученных знаний. Практическая работа. 6 мин. | Обеспечить понимание учащегося цели, содержания и способов выполнения практических заданий. | Учитель просит учащегося предоставить доступ своего экрана. И для закрепления новой темы, предлагает учащемуся перейти на вкладку сайта «ЯКласс», и открыть в занятии 5: Задания с 1 по 8 . | Учащийся переходит на вкладку сайта «ЯКласс» и открывает в занятии 5 задания ивыполняет их. Потом выключает доступ экрана. | Уметь применять знания на практике. |
7. Рефлексия. Подведение итогов урока. 2 мин. | Выявить уровень достижения цели урока. | Учитель оценивает активность работы учащегося на уроке по выполненным заданиям. Задаёт вопросы учащемуся: Что мы изучали на уроке? Чему ты научился на уроке? В чём испытывал затруднения? Учитель объявляет учащемуся оценку, комментируя ее объективность. | Учащийся анализирует свою работу, оценивает её. Рассказывает, что понравилось на уроке, что получалось легко, над чем хотелось бы поработать. | Объективность качественной оценки. |
8. Домашнее задание. |
Разделы: Математика
Цели урока:
Тип урока: урок-практикум.
Оборудование урока: раздаточный материал, цветной мел, графопроектор, портрет Рене Декарта, плакаты с формулами.
Ход урока
I. Организационный момент.
Тема нашего урока «Преобразование выражений, содержащих арифметические квадратные корни». Сегодня на уроке мы будем повторять правила преобразования выражений, содержащих квадратные корни. Это и преобразование корней из произведения, дроби и степени, умножение и деление корней, вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под знак корня, приведение подобных слагаемых и освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.
II. Устный опрос по теории.
III. Устная работа. (Записано на доске).
Найдите значение корня: |
|
Найдите значение выражения: |
|
Внесите множитель под знак корня: |
|
Сравните: |
|
IV. Отработка знаний по данной теме. (На партах у каждого листок с заданиями ).
1. Выполните действия.
2 + 0,3- 4 + 0,01 |
|||||||||
3 + 0,5 - 2 + 0,01 |
(Ученики по вариантам выполняют примеры в тетрадях, 6 учеников по 1 примеру решают у задней доски ).
– Проверка через графопроектор. Каждому ответу соответствует определённая буква. В результате получаются слово: Декарт.
V. Историческая справка.
Ученик выступает с небольшим сообщением.
В 1626 году нидерландский математик А.Ширар ввел близкое к современному обозначение корня V. Если над этим знаком стояла цифра 2, то это означало корень квадратный, если 3 – кубический. Это обозначение стало вытеснять знак Rx. Однако долгое время писали Vа+в с горизонтальной чертой над суммой. Лишь в 1637 году Рене Декарт соединил знак корня с горизонтальной чертой, применив в своей «Геометрии» современный знак корня . Этот знак вошёл во всеобщее употребление лишь в начале XVIII века. (На доске – портрет Рене Декарта, рисунок ).
VI. Отработка знаний по теме.
2. Разложите на множители.
а и б – разложим по формуле разности квадратов, в и г – используя определение арифметического квадратного корня, заменим 7 и 13 квадратами из квадратных корней, а потом вынесем за скобки общий множитель ).
а) а – 9, а≥0 |
||||
б) 16 – в, в≥0 |
||||
Ученики решают в тетрадях по вариантам, 2 человека (по одному от каждого варианта) решают у доски.
– Проверка.
3. Сократите дробь.
– Как будем выполнять это задание? (Разложим на множители или числитель, или знаменатель, а потом сократим ).
Ученики решают в тетрадях по вариантам, 4 человека решают у доски. Примеры д и е решают дополнительно, кто успеет.
– Проверка.
4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби.
– Что будем делать в этом задании? (Преобразуем дробь так, чтобы знаменатель не содержал квадратного корня: а и б будем домножать и числитель, и знаменатель на квадратный корень, записанный в знаменателе; в и г будем домножать на сумму или разность выражения, записанного в знаменателе для того, чтобы получилась разность квадратов ).
Ученики решают по вариантам, 2 человека решают по 2 примера у доски.
– Проверка.
VII. Написание теста.
У каждого на парте листок с заданиями теста (приложение 1 ). Подписали листок и выполнили задания в этом же листке. После написания работы сдали, проверили ответы и разобрали, почему так, через графопроектор.
VIII. Домашнее задание. с. 109 № 503 (а–г), 504.
Материал этой статьи стоит рассматривать как часть темы преобразование иррациональных выражений . Здесь мы на примерах разберем все тонкости и нюансы (которых немало), возникающие при проведении преобразований на базе свойств корней.
Навигация по странице.
Коль скоро мы собрались разбираться с преобразованием выражений с использованием свойств корней, то не помешает вспомнить основные , а еще лучше записать их на бумагу и расположить перед собой.
Сначала изучаются квадратные корни и следующие их свойства (a , b , a 1 , a 2 , …, a k - действительные числа):
А позже представление о корне расширяется, вводится определение корня n-ой степени, и рассматриваются такие свойства (a , b , a 1 , a 2 , …, a k - действительные числа, m , n , n 1 , n 2 , ..., n k - натуральные числа):
По обыкновению сначала учатся работать с числовыми выражениями, а уже после этого переходят к выражениям с переменными. Так поступим и мы, и сначала разберемся с преобразованием иррациональных выражений, содержащих под знаками корней только числовые выражения, а уже дальше в следующем пункте будем вводить под знаки корней и переменные.
Как это может быть использовано для преобразования выражений? Очень просто: например, иррациональное выражение мы можем заменить выражением или наоборот. То есть, если в составе преобразовываемого выражения содержится выражение, совпадающее по виду с выражением из левой (правой) части любого из перечисленных свойств корней, то его можно заменить соответствующим выражением из правой (левой) части. В этом и состоит преобразование выражений с использованием свойств корней.
Приведем еще несколько примеров.
Упростим выражение . Числа 3
, 5
и 7
положительные, поэтому мы можем спокойно применять свойства корней. Здесь можно действовать по-разному. Например, корень на базе свойства можно представить как , а корень с использованием свойства при k=3
- как , при таком подходе решение будет иметь такой вид:
Можно было поступить иначе, заменив на , и дальше на , в этом случае решение выглядело бы так:
Возможны и другие варианты решения, например, такой:
Разберем решение еще одного примера. Преобразуем выражение . Взглянув на список свойств корней, выбираем из него нужные нам свойства для решения примера, понятно, что здесь пригодятся два из них и , которые справедливы для любых a
. Имеем:
Как вариант, сначала можно было преобразовать выражения под знаками корней с использованием
а уже дальше применять свойства корней
До этого момента мы преобразовывали выражения, которые содержат только квадратные корни. Пришло время поработать с корнями, имеющими другие показатели.
Пример.
Преобразуйте иррациональное выражение .
Решение.
По свойству первый множитель заданного произведения можно заменить числом −2
:
Идем дальше. Второй множитель в силу свойства можно представить как , а 81
не помешает заменить четверной степенью тройки, так как в остальных множителях под знаками корней фигурирует число 3
:
Корень из дроби целесообразно заменить отношением корней вида , которое можно преобразовать и дальше: . Имеем
Полученное выражение после выполнения действий с двойками примет вид , и остается преобразовать произведение корней.
Для преобразования произведений корней их обычно приводят к одному показателю, в качестве которого целесообразно брать показателей всех корней. В нашем случае НОК(12, 6, 12)=12
, и к этому показателю придется приводить лишь корень , так как остальные два корня уже имеют такой показатель. Справиться с этой задачей позволяет равенство , которое применяют справа налево. Так . Учитывая этот результат, имеем
Теперь произведение корней можно заменить корнем произведения и выполнить остальные, уже очевидные, преобразования:
Оформим краткий вариант решения:
Ответ:
.
Отдельно подчеркнем, что для применения свойств корней необходимо учитывать ограничения, наложенные на числа под знаками корней (a≥0 и т.п.). Их игнорирование может спровоцировать возникновение неверных результатов. Например, мы знаем, что свойство имеет место для неотрицательных a . На его основе мы спокойно можем перейти, к примеру, от к , так как 8 – положительное число. А вот если взять имеющий смысл корень из отрицательного числа, например, , и на базе указанного выше свойства заменить его на , то мы фактически заменим −2 на 2 . Действительно, , а . То есть, при отрицательных a равенство может быть и неверным, как могут быть неверными и другие свойства корней без учета оговоренных для них условий.
Но сказанное в предыдущем пункте вовсе не означает, что выражения с отрицательными числами под знаками корней невозможно преобразовывать с использованием свойств корней. Их просто предварительно нужно «подготовить», применив правила действий с числами или воспользовавшись определением корня нечетной степени из отрицательного числа, которому соответствует равенство , где −a – отрицательное число (при этом a – положительное). Например, нельзя сразу заменить на , так как −2 и −3 – отрицательные числа, но позволяет нам от корня перейти к , и уже дальше применять свойство корня из произведения: . А в одном из предыдущих примеров переходить от корня к корню восемнадцатой степени нужно было не так , а так .
Итак, для преобразования выражений с использованием свойств корней, надо
Для преобразования иррациональных выражений, содержащих под знаком корня не только числа, но и переменные, свойства корней, перечисленные в первом пункте этой статьи, приходится применять аккуратно. Связано это по большей части с условиями, которым должны удовлетворять числа, участвующие в формулах. Например, опираясь на формулу , выражение можно заменить выражением лишь для таких значений x , которые удовлетворяют условиям x≥0 и x+1≥0 , так как указанная формула задана для a≥0 и b≥0 .
Чем опасно игнорирование этих условий? Ответ на этот вопрос наглядно демонстрирует следующий пример. Допустим, нам нужно вычислить значение выражения при x=−2 . Если сразу подставить вместо переменной x число −2 , то получим нужное нам значение . А теперь представим, что мы, исходя из каких-то соображений, преобразовали заданное выражение к виду , и только после этого решили вычислить значение. Подставляем вместо x число −2 и приходим к выражению , которое не имеет смысла.
Давайте проследим, что происходит с областью допустимых значений (ОДЗ) переменной x при переходе от выражения к выражению . ОДЗ мы упомянули не случайно, так как это серьезный инструмент контроля допустимости проделанных преобразований, и изменение ОДЗ после преобразования выражения должно как минимум насторожить. Найти ОДЗ для указанных выражений не составляет труда. Для выражения ОДЗ определяется из неравенства x·(x+1)≥0 , его решение дает числовое множество (−∞, −1]∪∪}